当 x 趋于 0 时，x * ln(x) 的极限行为取决于 x 的取值范围。

如果 x 严格小于 0，那么 ln(x) 是无定义的，因为对数函数的定义域是正实数。在这种情况下，x * ln(x) 也是无定义的。

如果 0 < x < 1，那么 ln(x) 是负数，并且随着 x 接近 0，ln(x) 会趋向于负无穷大。因此，x * ln(x) 会趋向于正无穷大。

如果 x > 1，那么 ln(x) 是正数，并且随着 x 接近 0，ln(x) 会趋向于负无穷大。因此，x * ln(x) 会趋向于负无穷大。

但是，如果 x 趋向于 0 的方式是 x 乘以一个趋于无穷大的正数（即 x → 0 且 x/a → ∞，其中 a > 0），则 x * ln(x) 的极限为 0。这是因为尽管 ln(x) 趋于负无穷大，但 x 趋于 0 的速度更快，使得它们的乘积趋于 0。

总结来说，x * ln(x) 当 x 趋于 0 的极限取决于 x 趋于 0 的方式。如果 x 严格小于 0 或 0 < x < 1，极限不存在。如果 x > 1 或 x 趋向于 0 的方式是 x 乘以一个趋于无穷大的正数，则极限为负无穷大或正无穷大。如果 x 趋向于 0 的方式是 x 乘以一个趋于无穷大的负数，则极限为 0。