补充团员证需要盖两个章，分别是辖区团委或学校团委的公章和所在团支部的团组织关系介绍信的印章。

其中，公章是证明补办团员证的手续合法有效的必要文件，团支部印章则是证明该团员是该团支部的成员并具有团组织关系的重要证明。因此，确保以上两个章的盖好是申请补办团员证成功的必要条件。