如果沙发的靠背和腿连接处的螺钉断了，可以通过以下步骤进行恢复：

拆卸受损螺丝：首先需要使用合适的工具（如螺丝刀或螺丝扳手）将松动的螺丝拆除。如果螺丝已经脱落，则可能需要钳子或其他手动工具来松动并拔出螺丝杆。

填充孔洞：一旦螺丝被移除，需要用适当的材料填充原本用于固定螺丝的孔洞。这可以是木屑、木栓或木插销，这些材料应与孔洞的尺寸相匹配，且填入深度要足以确保稳固性。

安装新螺丝：待填充材料充分干燥后，可以安装新的螺丝。新螺丝应该小心翼翼地拧入预制的孔洞中，避免拧得过紧以防损坏沙发框架。如果在拧入过程中遇到阻力或棱角，可用磨砂工具对螺丝头进行处理，以便于顺利拧入